Basit (Kısmi) Kesirlere Ayırma
Konu tekrarı için: Polinomlarda Bölme İşlemi
Basit (ya da kısmi) kesirlere ayırma yöntemi, bir basit (payının derecesi paydasının derecesinden küçük) rasyonel fonksiyonu basit kesirlerin toplamı şeklinde yazmak için kullanılan bir yöntemdir.
\( \dfrac{12x}{x^2 - 4x - 12} = \dfrac{3}{x + 2} + \dfrac{9}{x - 6} \)
\( \dfrac{5 - 2x}{(x - 1)(x - 2)^2} = \dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{1}{(x - 2)^2} \)
Bu yöntemde verilen basit rasyonel fonksiyon, aşağıdaki iki koşulu sağlayan kesirlerin toplamı şeklinde yazılır.
- Her kesrin paydası, indirgenemeyen (daha fazla çarpanlarına ayrılamayan) tek bir çarpandan ya da bu çarpanın bir pozitif tam sayı kuvvetinden oluşur.
- Her kesrin payının derecesi paydasının derecesinden küçüktür.
Verilen rasyonel fonksiyon bileşik (payının derecesi paydasının derecesine eşit ya da daha büyük) ise polinom bölmesi ile bir polinom ve basit rasyonel fonksiyonun toplamı şeklinde yazılır, daha sonra yöntem elde edilen basit rasyonel fonksiyona uygulanır.
\( \underbrace{\dfrac{2x^3 - 9x - 10}{x^2 - x - 2}}_\text{bileşik rasyonel fonksiyon} = \underbrace{2x + 2}_\text{polinom} + \underbrace{\dfrac{-3x - 6}{x^2 - x - 2}}_\text{basit rasyonel fonksiyon} \)
\( = \underbrace{2x + 2}_\text{polinom} + \underbrace{\dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{4}{x - 2}}_\text{basit kesirlerin toplamı} \)
Basit ya da bileşik bir rasyonel fonksiyon, yukarıdaki koşulları sağlayacak şekilde, bir polinom ve basit kesirlerin toplamı olarak (kesirlerin diziliş sırası hariç) tek bir şekilde yazılabilir.
Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi
Bu yöntemin uygulamasını biri basit diğeri bileşik iki rasyonel fonksiyon üzerinde gösterelim.
\( \dfrac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{2x^4 - 7x^3 + 6x^2 + 4x - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
Basit kesirlere ayırma yöntemi aşağıdaki adımlardan oluşur.
Adım 1: Polinom Bölmesi
Basit kesirlere ayırma yöntemi basit rasyonel fonksiyonlara uygulanabilir. Bileşik rasyonel fonksiyonlarda pay paydaya polinom bölmesi ile bölünür, daha sonra yöntem elde edilen basit rasyonel fonksiyona uygulanır.
Yukarıda tanımladığımız iki örneğe bu adımı uygulayalım.
\( der[5x + 3] = 1 \)
\( der[x^2 + 2x - 3] = 2 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen ifadeye uygulayabiliriz.
\( der[2x^4 - 7x^3 + 6x^2 + 4x - 4] = 4 \)
\( der[x^3 - 4x^2 + 4x] = 3 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olmadığı için polinom bölmesi ile ifadeyi bu koşulu sağlayacak forma getirelim.
\( \dfrac{2x^4 - 7x^3 + 6x^2 + 4x - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} = 2x + 1 + \dfrac{2x^2 - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemini elde ettiğimiz \( \frac{2x^2 - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} \) basit rasyonel fonksiyonuna uygulayabiliriz.
Adım 2: Paydayı Çarpanlarına Ayırma
Bu adımda basit rasyonel fonksiyonun paydası tam çarpanlarına ayrılır. Polinomların çarpanları bölümünde gördüğümüz üzere, her polinom aşağıdaki dört tipteki reel katsayılı polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir.
| Çarpan Tipi | Açıklama |
|---|---|
| \( ax + b \) | Birinci dereceden tek katlı çarpan |
| \( (ax + b)^n \) | Birinci dereceden \( n \) katlı çarpan |
| \( ax^2 + bx + c \) |
\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \) olmak üzere, İkinci dereceden tek katlı çarpan |
| \( (ax^2 + bx + c)^n \) |
\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \) olmak üzere, İkinci dereceden \( n \) katlı çarpan |
Yukarıda tanımladığımız iki örneğe bu adımı uygulayalım.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \dfrac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3} = \dfrac{5x + 3}{(x + 3)(x - 1)} \)
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( \dfrac{2x^2 - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} = \dfrac{2x^2 - 4}{x(x - 2)^2} \)
Adım 3: Basit Kesirlere Ayırma
Bu adımda rasyonel ifade basit kesirlerin toplamı şeklinde ve her kesrin payı değerlerini bulmak istediğimiz bilinmeyenlerden oluşacak şekilde yazılır.
Bir polinomun yukarıda tanımladığımız dört tipteki çarpanının her biri için eklenmesi gereken basit kesirler aşağıdaki gibidir. Buna göre, her tek katlı çarpan için bir basit kesir eklenirken, her \( n \) katlı çarpan için her birinde çarpanın kuvveti birer artacak şekilde \( n \) basit kesir eklenir.
| Çarpan Tipi | Basit Kesirler |
|---|---|
| \( ax + b \) | \( \dfrac{A}{ax + b} \) |
| \( (ax + b)^n \) | \( \dfrac{A_1}{ax + b} + \dfrac{A_2}{(ax + b)^2} + \ldots + \dfrac{A_n}{(ax + b)^n} \) |
| \( ax^2 + bx + c \) | \( \dfrac{Ax + B}{ax^2 + bx + c} \) |
| \( (ax^2 + bx + c)^n \) | \( \dfrac{A_1x + B_1}{ax^2 + bx + c} + \dfrac{A_2x + B_2}{(ax^2 + bx + c)^2} + \ldots + \dfrac{A_nx + B_n}{(ax^2 + bx + c)^n} \) |
Yukarıda tanımladığımız iki örneğe bu adımı uygulayalım.
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{5x + 3}{(x + 3)(x - 1)} = \dfrac{A}{x + 3} + \dfrac{B}{x - 1} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{2x^2 - 4}{x(x - 2)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x - 2} + \dfrac{C}{(x - 2)^2} \)
Adım 4: Bilinmeyen Değerleri Bulma
Bu adımda denklem çözüm yöntemleri ve polinomların eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayılarının eşitliği kuralı kullanılarak bilinmeyenlerin değeri bulunur.
Yukarıda tanımladığımız iki örneğe bu adımı uygulayalım.
\( \dfrac{5x + 3}{(x + 3)(x - 1)} = \dfrac{A}{x + 3} + \dfrac{B}{x - 1} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x - 1)}{(x + 3)(x - 1)} + \dfrac{B(x + 3)}{(x + 3)(x - 1)} \)
\( = \dfrac{A(x - 1) + B(x + 3)}{(x + 3)(x - 1)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 5x + 3 = A(x - 1) + B(x + 3) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( x \)'e değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( x = 1 \) verelim.
\( 5(1) + 3 = A(1 - 1) + B(1 + 3) \)
\( 8 = A(0) + B(4) \)
\( B = 2 \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( x = -3 \) verelim.
\( 5(-3) + 3 = A(-3 - 1) + B(-3 + 3) \)
\( -12 = A(-4) + B(0) \)
\( A = 3 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3} = \dfrac{A}{x + 3} + \dfrac{B}{x - 1} \)
\( = \dfrac{3}{x + 3} + \dfrac{2}{x - 1} \)
\( \dfrac{2x^2 - 4}{x(x - 2)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x - 2} + \dfrac{C}{(x - 2)^2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x - 2)^2}{x(x - 2)^2} + \dfrac{Bx(x - 2)}{x(x - 2)^2} + \dfrac{Cx}{x(x - 2)^2} \)
\( = \dfrac{A(x - 2)^2 + Bx(x - 2) + Cx}{x(x - 2)^2} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 2x^2 - 4 = A(x - 2)^2 + Bx(x - 2) + Cx \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( x \)'e değer verelim.
\( A \)'lı ve \( B \)'li terimleri sıfırlamak için \( x = 2 \) verelim.
\( 2(2)^2 - 4 = A(2 - 2)^2 + B(2)(2 - 2) + C(2) \)
\( 4 = A(0) + B(2)(0) + C(2) \)
\( C = 2 \)
\( B \)'li ve \( C \)'li terimleri sıfırlamak için \( x = 0 \) verelim.
\( 2(0)^2 - 4 = A(0 - 2)^2 + B(0)(0 - 2) + C(0) \)
\( -4 = A(4) + B(0)(-2) + C(0) \)
\( A = -1 \)
Birbirine eşit iki polinomun aynı dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( B \) değerini bulmak için eşitliğin her iki tarafındaki \( x^2 \)'li terimlerin katsayılarını eşitleyelim.
\( 2 = A + B \)
\( B = 3 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{2x^4 - 7x^3 + 6x^2 + 4x - 4}{x^3 - 4x^2 + 4x} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x - 2} + \dfrac{C}{(x - 2)^2} \)
\( = \dfrac{-1}{x} + \dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{2}{(x - 2)^2} \)
Basit kesirlere ayırma yöntemi; integral alma, teleskopik seriler, diferansiyel denklemler, ters Laplace dönüşümleri ve diğer pek çok konuda sıklıkla kullanılan bir yöntemdir.
\( \dfrac{2x}{x^2 - 1} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[2x] = 1 \)
\( der[x^2 - 1] = 2 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) \)
\( \dfrac{2x}{x^2 - 1} = \dfrac{2x}{(x + 1)(x - 1)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{2x}{(x + 1)(x - 1)} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x - 1} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} + \dfrac{B(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} \)
\( = \dfrac{A(x - 1) + B(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 2x = A(x - 1) + B(x + 1) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( x \)'e değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( x = 1 \) verelim.
\( 2(1) = A(1 - 1) + B(1 + 1) \)
\( 2(1) = A(0) + B(2) \)
\( B = 1 \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( x = -1 \) verelim.
\( 2(-1) = A(-1 - 1) + B(-1 + 1) \)
\( 2(-1) = A(-2) + B(0) \)
\( A = 1 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{2x}{x^2 - 1} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{x - 1} \)
\( = \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{x - 1} \)
\( \dfrac{15}{x^2 + 9x + 14} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[15] = 0 \)
\( der[x^2 + 9x + 14] = 2 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 + 9x + 14 = (x + 7)(x + 2) \)
\( \dfrac{15}{x^2 + 9x + 14} = \dfrac{15}{(x + 7)(x + 2)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{15}{(x + 7)(x + 2)} = \dfrac{A}{x + 7} + \dfrac{B}{x + 2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x + 2)}{(x + 7)(x + 2)} + \dfrac{B(x + 7)}{(x + 2)(x + 7)} \)
\( = \dfrac{A(x + 2) + B(x + 7)}{(x + 2)(x + 7)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 15 = A(x + 2) + B(x + 7) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( x \)'e değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( x = -2 \) verelim.
\( 15 = A(-2 + 2) + B(-2 + 7) \)
\( 15 = A(0) + B(5) \)
\( B = 3 \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( x = -7 \) verelim.
\( 15 = A(-7 + 2) + B(-7 + 7) \)
\( 15 = A(-5) + B(0) \)
\( A = -3 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{15}{x^2 +9x + 14} = \dfrac{A}{x + 7} + \dfrac{B}{x + 2} \)
\( = \dfrac{-3}{x + 7} + \dfrac{3}{x + 2} \)
\( \dfrac{x^3 + 14x^2 + 45x + 30}{x^2 + 6x + 8} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[x^3 + 14x^2 + 45x + 30] = 3 \)
\( der[x^2 + 6x + 8] = 2 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olmadığı için polinom bölmesi ile ifadeyi bu koşulu sağlayacak forma getirelim.
\( \dfrac{x^3 + 14x^2 + 45x + 30}{x^2 + 6x + 8} = (x + 8) + \dfrac{-11x - 34}{x^2 + 6x + 8} \)
Buna göre basit kesirlere ayırma yöntemini polinom bölmesi sonucunda elde ettiğimiz \( \frac{-11x - 34}{x^2 + 6x + 8} \) rasyonel ifadesine uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2) \)
\( \dfrac{-11x - 34}{x^2 + 6x + 8} = \dfrac{-11x - 34}{(x + 4)(x + 2)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{-11x - 34}{(x + 4)(x + 2)} = \dfrac{A}{x + 4} + \dfrac{B}{x + 2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x + 2)}{(x + 4)(x + 2)} + \dfrac{B(x + 4)}{(x + 2)(x + 4)} \)
\( = \dfrac{A(x + 2) + B(x + 4)}{(x + 4)(x + 2)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( -11x - 34 = A(x + 2) + B(x + 4) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( x \)'e değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( x = -2 \) verelim.
\( -11(-2) - 34 = A(-2 + 2) + B(-2 + 4) \)
\( 22 - 34 = A(0) + B(2) \)
\( B = -6 \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( x = -4 \) verelim.
\( -11(-4) - 34 = A(-4 + 2) + B(-4 + 4) \)
\( 44 - 34 = A(-2) + B(0) \)
\( A = -5 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{x^3 + 14x^2 + 45x + 30}{x^2 + 6x + 8} = x + 8 + \dfrac{A}{x + 4} + \dfrac{B}{x + 2} \)
\( = x + 8 + \dfrac{-5}{x + 4} + \dfrac{-6}{x + 2} \)
\( = x + 8 - \dfrac{5}{x + 4} - \dfrac{6}{x + 2} \)
\( \dfrac{x^2 - x - 21}{2x^3 - x^2 + 8x - 4} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[x^2 - x - 21] = 2 \)
\( der[2x^3 - x^2 + 8x - 4] = 3 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( 2x^3 - x^2 + 8x - 4 = (2x - 1)(x^2 + 4) \)
\( \dfrac{x^2 - x - 21}{2x^3 - x^2 + 8x - 4} = \dfrac{x^2 - x - 21}{(2x - 1)(x^2 + 4)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{x^2 - x - 21}{(2x - 1)(x^2 - 4)} = \dfrac{A}{2x - 1} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 4} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x^2 + 4)}{(2x - 1)(x^2 + 4)} + \dfrac{(Bx + C)(2x - 1)}{(x^2 + 4)(2x - 1)} \)
\( = \dfrac{A(x^2 + 4) + (Bx + C)(2x - 1)}{(2x - 1)(x^2 + 4)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( x^2 - x - 21 = A(x^2 + 4) + (Bx + C)(2x - 1) \)
\( = Ax^2 + 4A + 2Bx^2 - Bx + 2Cx - C \)
\( = (A + 2B)x^2 + (2C - B)x + 4A - C \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A + 2B = 1 \)
\( 2C - B = -1 \)
\( 4A - C = -21 \)
Bu üç bilinmeyen ve üç denklemden oluşan denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = -5, \quad B = 3, \quad C = 1 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{x^2 - x - 21}{2x^3 - x^2 + 8x - 4} = \dfrac{A}{2x - 1} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 4} \)
\( = \dfrac{-5}{2x - 1} + \dfrac{3x + 1}{x^2 + 4} \)
\( \dfrac{4x^3 + 10x^2 + 15}{(x^2 + 2x + 3)^2} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[4x^3 + 10x^2 + 15] = 3 \)
\( der[(x^2 + 2x + 3)^2] = 4 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{4x^3 + 10x^2 + 15}{(x^2 + 2x + 3)^2} = \dfrac{Ax + B}{x^2 + 2x + 3} + \dfrac{Cx + D}{(x^2 + 2x + 3)^2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 2x + 3)}{(x^2 + 2x + 3)(x^2 + 2x + 3)} + \dfrac{Cx + D}{(x^2 + 2x + 3)^2} \)
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 2x + 3) + Cx + D}{(x^2 + 2x + 3)^2} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 4x^3 + 10x^2 + 15 = (Ax + B)(x^2 + 2x + 3) + Cx + D \)
\( = Ax^3 + 2Ax^2 + 3Ax + Bx^2 + 2Bx + 3B + Cx + D \)
\( = Ax^3 + (2A + B)x^2 + (3A + 2B + C)x + 3B + D \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A = 4 \)
\( 2A + B = 10 \)
\( 3A + 2B + C = 0 \)
\( 3B + D = 15 \)
Bu dört bilinmeyen ve dört denklemden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = 4, \quad B = 2, \quad C = -16, \quad D = 9 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{4x^3 + 10x^2 + 15}{(x^2 + 2x + 3)^2} = \dfrac{Ax + B}{x^2 + 2x + 3} + \dfrac{Cx + D}{(x^2 + 2x + 3)^2} \)
\( = \dfrac{4x + 2}{x^2 + 2x + 3} + \dfrac{-16x + 9}{(x^2 + 2x + 3)^2} \)
\( \dfrac{5x^2 + 3x - 27}{x^3 - 27} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[5x^2 + 3x - 27] = 2 \)
\( der[x^3 - 27] = 3 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) \)
\( \dfrac{5x^2 + 3x - 27}{x^3 - 27} = \dfrac{5x^2 + 3x - 27}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{5x^2 + 3x - 27}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 3x + 9} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(x^2 + 3x + 9)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} + \dfrac{(Bx + C)(x - 3)}{(x^2 + 3x + 9)(x - 3)} \)
\( = \dfrac{A(x^2 + 3x + 9) + (Bx + C)(x - 3)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 5x^2 + 3x - 27 = A(x^2 + 3x + 9) + (Bx + C)(x - 3) \)
\( = Ax^2 + 3Ax + 9A + Bx^2 - 3Bx + Cx - 3C \)
\( = (A + B)x^2 + (3A - 3B + C)x + 9A - 3C \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A + B = 5 \)
\( 3A - 3B + C = 3 \)
\( 9A - 3C = -27 \)
Bu üç bilinmeyen ve üç denklemden oluşan denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = 1, \quad B = 4, \quad C = 12 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{5x^2 + 3x - 27}{x^3 - 27} = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 3x + 9} \)
\( = \dfrac{1}{x - 3} + \dfrac{4x + 12}{x^2 + 3x + 9} \)
\( \dfrac{4x^2 + 16x + 25}{(2x + 3)^3} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[4x^2 + 16x + 25] = 2 \)
\( der[(2x + 3)^3] = 3 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{4x^2 + 16x + 25}{(2x + 3)^3} = \dfrac{A}{2x + 3} + \dfrac{B}{(2x + 3)^2} + \dfrac{C}{(2x + 3)^3} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(2x + 3)^2}{(2x + 3)(2x + 3)^2} + \dfrac{B(2x + 3)}{(2x + 3)^2(2x + 3)} + \dfrac{C}{(2x + 3)^3}\)
\( = \dfrac{A(2x + 3)^2 + B(2x + 3) + C}{(2x + 3)^3} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 4x^2 + 16x + 25 = A(2x + 3)^2 + B(2x + 3) + C \)
\( = 4Ax^2 + 12Ax + 9A + 2Bx + 3B + C \)
\( = 4Ax^2 + (12A + 2B)x + 9A + 3B + C \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( 4A = 4 \)
\( 12A + 2B = 16 \)
\( 9A + 3B + C = 25 \)
Bu üç bilinmeyen ve üç denklemden oluşan denklem sistemini çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = 1, \quad B = 2, \quad C = 10 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{4x^2 + 16x + 25}{(2x + 3)^3} = \dfrac{A}{2x + 3} + \dfrac{B}{(2x + 3)^2} + \dfrac{C}{(2x + 3)^3} \)
\( = \dfrac{1}{2x + 3} + \dfrac{2}{(2x + 3)^2} + \dfrac{10}{(2x + 3)^3} \)
\( \dfrac{x^3 + x^2 + x + 2}{x^4 + 3x^2 + 2} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[x^3 + x^2 + x + 2] = 3 \)
\( der[x^4 + 3x^2 + 2] = 4 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x^4 + 3x^2 + 2 = (x^2 + 2)(x^2 + 1) \)
\( \dfrac{x^3 + x^2 + x + 2}{x^4 + 3x^2 + 2} = \dfrac{x^3 + x^2 + x + 2}{(x^2 + 2)(x^2 + 1)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{x^3 + x^2 + x + 2}{(x^2 + 2)(x^2 + 1)} = \dfrac{Ax + B}{x^2 + 2} + \dfrac{Cx + D}{x^2 + 1} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 1)}{(x^2 + 2)(x^2 + 1)} + \dfrac{(Cx + D)(x^2 + 2)}{(x^2 + 1)(x^2 + 2)} \)
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x^2 + 2)}{(x^2 + 2)(x^2 + 1)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( x^3 + x^2 + x + 2 = (Ax + B)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x^2 + 2) \)
\( = Ax^3 + Ax + Bx^2 + B + Cx^3 + 2Cx + Dx^2 + 2D \)
\( = (A + C)x^3 + (B + D)x^2 + (A + 2C)x + B + 2D \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A + C = 1 \)
\( B + D = 1 \)
\( A + 2C = 1 \)
\( B + 2D = 2 \)
Bu dört bilinmeyen ve dört denklemden oluşan denklem sistemini yok etme yöntemi ile çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( A = 1, \quad B = 0, \quad C = 0, \quad D = 1 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{x^3 + x^2 + x + 2}{x^4 + 3x^2 + 2} = \dfrac{Ax + B}{x^2 + 2} + \dfrac{Cx + D}{x^2 + 1} \)
\( = \dfrac{x}{x^2 + 2} + \dfrac{1}{x^2 + 1} \)
\( \dfrac{1}{4^x - 5 \cdot 2^x + 6} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterYukarıdaki ifadeyi değişken değiştirme yöntemi ile daha sade hale getirelim ve çarpanlarına ayıralım.
\( 2^x = t \) dönüşümü uygulayalım.
\( \dfrac{1}{4^x - 5 \cdot 2^x + 6} = \dfrac{1}{t^2 - 5t + 6} \)
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( t^2 - 5t + 6 = (t - 3)(t - 2) \)
\( \dfrac{1}{t^2 - 5t + 6} = \dfrac{1}{(t - 3)(t - 2)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{1}{(t - 3)(t - 2)} = \dfrac{A}{t - 3} + \dfrac{B}{t - 2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(t - 2)}{(t - 3)(t - 2)} + \dfrac{B(t - 3)}{(t - 2)(t - 3)} \)
\( = \dfrac{A(t - 2) + B(t - 3)}{(t - 3)(t - 2)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 1 = A(t - 2) + B(t - 3) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( t \)'ye değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( t = 2 \) verelim.
\( 1 = A(2 - 2) + B(2 - 3) \)
\( 1 = A(0) + B(-1) \)
\( B = -1 \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( t = 3 \) verelim.
\( 1 = A(3 - 2) + B(3 - 3) \)
\( 1 = A(1) + B(0) \)
\( A = 1 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{1}{t^2 - 5t + 6} = \dfrac{A}{t - 3} + \dfrac{B}{t - 2} \)
\( = \dfrac{1}{t - 3} + \dfrac{-1}{t - 2} \)
\( t = 2^x \) dönüşümü ile ifadeyi tekrar \( x \) değişkenine çevirelim.
\( = \dfrac{1}{2^x - 3} - \dfrac{1}{2^x - 2} \)
\( \dfrac{2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 3)} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi değişken değiştirme yöntemi ile daha sade hale getirelim ve çarpanlarına ayıralım.
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( \sqrt{x} = t \)
\( \dfrac{2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 3)} = \dfrac{2}{(t - 2)(t + 3)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{2}{(t - 2)(t + 3)} = \dfrac{A}{t - 2} + \dfrac{B}{t + 3} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(t + 3)}{(t - 2)(t + 3)} + \dfrac{B(t - 2)}{(t + 3)(t - 2)} \)
\( = \dfrac{A(t + 3) + B(t - 2)}{(t - 2)(t + 3)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 2 = A(t + 3) + B(t - 2) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( t \)'ye değer verelim.
\( A \)'lı terimi sıfırlamak için \( t = -3 \) verelim.
\( 2 = A(-3 + 3) + B(-3 - 2) \)
\( 2 = A(0) + B(-5) \)
\( B = -\dfrac{2}{5} \)
\( B \)'li terimi sıfırlamak için \( t = 2 \) verelim.
\( 2 = A(2 + 3) + B(2 - 2) \)
\( 2 = A(5) + B(0) \)
\( A = \dfrac{2}{5} \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{2}{(t - 2)(t + 3)} = \dfrac{A}{t - 2} + \dfrac{B}{t + 3} \)
\( = \dfrac{\frac{2}{5}}{t - 2} + \dfrac{-\frac{2}{5}}{t + 3} \)
\( = \dfrac{2}{5(t - 2)} - \dfrac{2}{5(t + 3)} \)
\( t = \sqrt{x} \) dönüşümü ile ifadeyi tekrar \( x \) değişkenine çevirelim.
\( = \dfrac{2}{5(\sqrt{x} - 2)} - \dfrac{2}{5(\sqrt{x} + 3)} \)
\( \dfrac{3}{(x - 9)\sqrt{x}} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterVerilen ifadeyi değişken değiştirme yöntemi ile daha sade hale getirelim ve çarpanlarına ayıralım.
Aşağıdaki şekilde değişken değiştirme uygulayalım.
\( \sqrt{x} = t \)
\( \Longrightarrow x = t^2 \)
\( \dfrac{3}{(x - 9)\sqrt{x}} = \dfrac{3}{(t^2 - 9)t} \)
Pay ve paydadaki polinomların derecelerini bulalım.
\( der[3] = 0 \)
\( der[(t^2 - 9)t] = 3 \)
Payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için polinom bölmesine gerek kalmadan basit kesirlere ayırma yöntemini verilen rasyonel ifadeye uygulayabiliriz.
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (t^2 - 9)t = (t - 3)(t + 3)t \)
\( \dfrac{3}{(t^2 - 9)t} = \dfrac{3}{(t - 3)(t + 3)t} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{3}{(t - 3)(t + 3)t} = \dfrac{A}{t - 3} + \dfrac{B}{t + 3} + \dfrac{C}{t} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{A(t + 3)t}{(t - 3)(t + 3)t} + \dfrac{B(t - 3)t}{(t + 3)(t - 3)t} + \dfrac{C(t - 3)(t + 3)}{t(t - 3)(t + 3)} \)
\( = \dfrac{A(t + 3)t + B(t - 3)t + C(t - 3)(t + 3)}{(t - 3)(t + 3)t} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 3 = A(t + 3)t + B(t - 3)t + C(t - 3)(t + 3) \)
Bilinmeyen değerleri bulmak için \( t \)'ye değer verelim.
\( A \)'lı ve \( B \)'li terimleri sıfırlamak için \( t = 0 \) verelim.
\( 3 = A(0 + 3)0 + B(0 - 3)0 + C(0 - 3)(0 + 3) \)
\( 3 = A(0) + B(0) + C(-9) \)
\( C = -\dfrac{1}{3} \)
\( B \)'li ve \( C \)'li terimleri sıfırlamak için \( t = 3 \) verelim.
\( 3 = A(3 + 3)3 + B(3 - 3)3 + C(3 - 3)(3 + 3) \)
\( 3 = A(18) + B(0) + C(0) \)
\( A = \dfrac{1}{6} \)
\( A \)'lı ve \( C \)'li terimleri sıfırlamak için \( t = -3 \) verelim.
\( 3 = A(-3 + 3)(-3) + B(-3 - 3)(-3) + C(-3 - 3)(-3 + 3) \)
\( 3 = A(0) + B(18) + C(0) \)
\( B = \dfrac{1}{6} \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{3}{(t^2 - 9)t} = \dfrac{A}{t - 3} + \dfrac{B}{t + 3} + \dfrac{C}{t} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{6}}{t - 3} + \dfrac{\frac{1}{6}}{t + 3} + \dfrac{-\frac{1}{3}}{t} \)
\( = \dfrac{1}{6(t - 3)} + \dfrac{1}{6(t + 3)} - \dfrac{1}{3t} \)
\( t = \sqrt{x} \) dönüşümü ile ifadeyi tekrar \( x \) değişkenine çevirelim.
\( = \dfrac{1}{6(\sqrt{x} - 3)} + \dfrac{1}{6(\sqrt{x} + 3)} - \dfrac{1}{3\sqrt{x}} \)
\( \dfrac{16}{x^4 + 4} \) ifadesini basit kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
Çözümü GösterPaydadaki ifadeyi terim ekleme/çıkarma yöntemi ile çarpanlarına ayıralım. Bunun için ifadeye \( 4x^2 \) ekleyip çıkaralım.
\( x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 \)
\( = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 \)
\( = (x^2 + 2 - 2x)(x^2 + 2 + 2x) \)
\( = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) \)
Bu durumda verilen ifade aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{16}{x^4 + 4} = \dfrac{16}{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)} \)
Paydanın çarpan tiplerine göre ifadeyi basit kesirlerin toplamı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{16}{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)} = \dfrac{Ax + B}{x^2 - 2x + 2} + \dfrac{Cx + D}{x^2 + 2x + 2} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 2x + 2)}{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)} + \dfrac{(Cx + D)(x^2 - 2x + 2)}{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)} \)
\( = \dfrac{(Ax + B)(x^2 + 2x + 2) + (Cx + D)(x^2 - 2x + 2)}{(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)} \)
Rasyonel ifade ile basit kesirlere ayrılmış halinin paydalarını eşitlediğimiz için paylarını da eşitleyebiliriz.
\( 16 = (Ax + B)(x^2 + 2x + 2) + (Cx + D)(x^2 - 2x + 2) \)
\( = Ax^3 + 2Ax^2 + 2Ax + Bx^2 + 2Bx + 2B + Cx^3 - 2Cx^2 + 2Cx + Dx^2 - 2Dx + 2D \)
\( = (A + C)x^3 + (2A + B - 2C + D)x^2 + (2A + 2B + 2C - 2D)x + 2B + 2D \)
Birbirine eşit iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit olur.
\( A + C = 0 \)
\( \Longrightarrow A = -C \)
\( 2A + 2B + 2C - 2D = 0 \)
\( \Longrightarrow B = D \)
\( 2B + 2D = 16 \)
\( B = D = 4 \)
\( 2A + B - 2C + D = 0 \)
\( A = -2, \quad C = 2 \)
Buna göre rasyonel ifadenin basit kesirlere ayrılmış hali aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{16}{x^4 + 4} = \dfrac{Ax + B}{x^2 - 2x + 2} + \dfrac{Cx + D}{x^2 + 2x + 2} \)
\( = \dfrac{-2x + 4}{x^2 - 2x + 2} + \dfrac{2x + 4}{x^2 + 2x + 2} \)