Satır İşlemleri ile Ters Matris Bulma

Konu tekrarı için: Temel Satır İşlemleri | Gauss Eliminasyon Yöntemi | Gauss - Jordan Eliminasyon Yöntemi

Tersi olan kare matrisler aynı boyuttaki birim matrisle satırca denktir. Bir diğer ifadeyle, birim matrisle satırca denk olan matrislerin tersi vardır.

\( A \) matrisi tersi alınabilir bir matris ise,

\( A \sim I \sim A^{-1} \)

Bir \( A \) matrisini birim matrise dönüştürmek için uygulanacak temel satır işlemleri aynı sırada birim matrise uygulandığında \( A^{-1} \) matrisi elde edilir.

Buna göre bir \( A \) matrisinin tersini temel satır işlemleri ile bulmak için aşağıdaki adımlar takip edilir.

\( A \) matrisi ile aynı boyuttaki birim matris \( A \) matrisi ile yan yana yazılarak \( [\ A\ |\ I\ ] \) şeklinde bir artırılmış matris elde edilir.
Artırılmış matrisin sol tarafı Gauss - Jordan eliminasyon yöntemi ile birim matris formuna getirilir. Her işlem matrisin sağ tarafındaki ilgili satıra da uygulanır.
Artırılmış matrisin sol tarafı birim matrise eşit olduğunda matris \( [\ I\ |\ A^{-1}\ ] \) formuna gelmiş olur, yani matrisin sağ tarafı \( A \) matrisinin tersine eşit olur.

Bu yönteme göre artırılmış matrisin sol tarafında birim matris elde edilemiyorsa \( A \) matrisinin tersi yoktur.

Şimdi bu yöntemi kullanarak aşağıdaki matrisin ters matrisini bulalım.

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 2 & 8 & 1 \\ -1 & 0 & -3 \end{bmatrix} \)

İşlem	Matris
Verilen matrisin sağına aynı boyuttaki birim matrisi ekleyelim. \( [\ A\ \|\ I\ ] \)
Satır 1: 1. satırın pivotu \( a_{11} = 1 \) elemanıdır. Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( -2R_1 + R_2 \rightarrow R_2 \) \( R_1 + R_3 \rightarrow R_3 \)
Satır 2: 2. satırın pivotu \( a_{22} = -2 \) elemanıdır. Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( \dfrac{5}{2}R_2 + R_1 \rightarrow R_1 \) \( \dfrac{5}{2}R_2 + R_3 \rightarrow R_3 \)
Satır 3: 3. satırın pivotu \( a_{33} = -\frac{1}{2} \) elemanıdır. Belirlediğimiz pivotla aynı sütunda bulunan sıfırdan farklı elemanları toplama satır işlemleri ile sıfıra eşitleyelim. \( 5R_3 + R_1 \rightarrow R_1 \) \( 2R_3 + R_2 \rightarrow R_2 \)
Matris köşegen matris formundadır. Matrisi birim matrise dönüştürmek için 2. ve 3. satırın pivotlarını çarpma satır işlemi ile 1'e eşitleyelim. \( -\dfrac{1}{2}R_2 \rightarrow R_2 \) \( -2R_3 \rightarrow R_3 \) Bu işlemler sonucunda matrisin sol tarafı birim matrise eşit olur. Bu noktada matrisin sağ tarafı da \( A \) matrisinin tersini verir.

Bu yöntemi şu şekilde özetleyebiliriz. Bir \( A \) matrisi tersi olan bir matris ise \( A \) matrisini birim matrise dönüştürmek için uygulanması gereken satır işlemleri aynı sırada birim matrise uygulandığında \( A^{-1} \) matrisi elde edilir.