Bağıntı Özellikleri
Aşağıdaki gibi bir \( A \) kümesi tanımlayalım.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( s(A) = 4 \)
\( A \) kümesinin kendisiyle kartezyen çarpımı aşağıdaki gibi olur.
\( A \times A = \{ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), \) \( (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), \) \( (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), \) \( (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4) \} \)
\( s(A \times A) = s(A) \cdot s(A) = 16 \)
Önceki bölümde bahsettiğimiz üzere, \( A \times A \) kartezyen çarpım kümesinin \( 2^{16} = 65.536 \) alt kümesinin her biri \( A \) üzerinde tanımlı bir bağıntıdır.
Bu bölümde bu bağıntılardan her birinin sahip olabileceği dört özellikten bahsedeceğiz.
Yansıma Özelliği
\( A \) kümesindeki her \( a \) elemanı için \( (a, a) \) ikilisi bağıntının elemanı ise bu bağıntının yansıma özelliği vardır, ya da bir diğer ifadeyle bağıntı yansıyan bir bağıntıdır.
Her \( a \in A \) için \( (a, a) \in R \) ise,
\( R \) bağıntısı yansıyandır.
Bir diğer tanıma göre, birim bağıntı bir bağıntının alt kümesi ise o bağıntı yansıyandır.
\( I_A \subseteq R \) ise,
\( R \) bağıntısı yansıyandır.
Bu tanıma göre, \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların yansıma özelliği vardır.
\( R_1 = \{ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) \} \)
\( R_2 = \{ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2) \} \)
\( R_3 = A \times A \)
\( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların ise belirtilen sebeplerle yansıma özelliği yoktur.
\( R_4 = \{ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 4) \} \)
\( (4, 4) \) elemanını içermez.
\( R_5 = \emptyset \)
Hiçbir \( (a, a) \) elemanını içermez.
Aşağıdaki bağıntıların yansıma özelliği vardır.
| Bağıntı | Örnek | Açıklama |
|---|---|---|
| Eşittir | \( a = a \) | Bir sayı kendisine eşittir. |
| Küçük eşittir | \( a \le a \) | Bir sayı kendisinden küçük ya da kendisine eşittir. |
| Büyük eşittir | \( a \ge a \) | Bir sayı kendisinden büyük ya da kendisine eşittir. |
| Alt küme | \( A \subseteq A \) | Bir küme kendisinin bir alt kümesidir. |
| Böler | \( a \mid a\ (a \ne 0) \) | Sıfır hariç bir sayı kendisini tam böler. |
| Paralel | \( d \parallel d \) | Bir doğru kendisine paraleldir. |
| Benzer | \( \overset{\triangle}{ABC} \sim \overset{\triangle}{ABC} \) | Bir üçgen kendisi ile benzerdir. |
| Eş | \( \overset{\triangle}{ABC} \cong \overset{\triangle}{ABC} \) | Bir üçgen kendisi ile eştir. |
Yansıyan iki bağıntının kesişimi olan bağıntı da yansıyandır.
\( R \) ve \( S \) bağıntıları yansıyan ise,
\( R \cap S \) bağıntısı da yansıyandır.
İSPATI GÖSTER
\( R \) ve \( S \), \( A \) kümesi üzerinde tanımlı iki yansıyan bağıntı olsun.
Yansıma özelliği tanımına göre, yansıyan bir bağıntı birim bağıntıyı kapsar.
\( I_A \subseteq R \land I_A \subseteq S \)
Bir küme ayrı ayrı iki kümenin alt kümesi ise kesişim kümelerinin de alt kümesidir (ispat).
\( I_A \subseteq R \cap S \)
Yansıma özelliği tanımına göre, bir bağıntı birim bağıntıyı kapsıyorsa yansıyandır.
Buna göre \( R \cap S \) kümesi yansıyandır.
Yansıyan iki bağıntının birleşimi olan bağıntı da yansıyandır.
\( R \) ve \( S \) bağıntıları yansıyan ise,
\( R \cup S \) bağıntısı da yansıyandır.
İSPATI GÖSTER
\( R \) ve \( S \), \( A \) kümesi üzerinde tanımlı iki yansıyan bağıntı olsun.
Yansıma özelliği tanımına göre, yansıyan bir bağıntı birim bağıntıyı kapsar.
\( I_A \subseteq R \land I_A \subseteq S \)
Bir küme ayrı ayrı iki kümenin alt kümesi ise kesişim kümelerinin de alt kümesidir (ispat).
\( I_A \subseteq R \cap S \)
İki kümenin birleşimi kesişimini kapsar.
\( I_A \subseteq R \cap S \subseteq R \cup S \)
\( I_A \subseteq R \cup S \)
Yansıma özelliği tanımına göre, bir bağıntı birim bağıntıyı kapsıyorsa yansıyandır.
Buna göre \( R \cup S \) kümesi yansıyandır.
Yansıyan bir bağıntının tersi de yansıyandır.
\( R \) bağıntısı yansıyan ise,
\( R^{-1} \) bağıntısı da yansıyandır.
İSPATI GÖSTER
\( R \), \( A \) kümesinde tanımlı bir bağıntıdır.
\( x \in A \) olsun.
\( R \) yansıyan bir bağıntıdır.
\( (x, x) \in R \)
Ters bağıntı tanımına göre, bir bağıntının elemanı olan \( (a, b) \) ikilisinin tersi olan \( (b, a) \) ikilisi bağıntının tersinin elemanı olur.
\( (x, x) \in R^{-1} \)
Yansıyan bağıntı tanımına göre, her \( x \in A \) için \( (x, x) \in R^{-1} \) olduğuna göre, \( R^{-1} \) yansıyan bir bağıntıdır.
\( n \) elemanlı bir \( A \) kümesi üzerinde tanımlanabilecek yansıma özelliğine sahip bağıntı sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
Yansıma özelliğine sahip bağıntı sayısı \( = 2^{n^2 - n} \)
5 elemanlı bir küme üzerinde tanımlanabilecek yansıma özelliğine sahip bağıntı sayısı:
\( = 2^{5^2 - 5} = 2^{20} \)
İSPATI GÖSTER
\( n \) elemanlı bir kümenin kendisiyle kartezyen çarpımının eleman sayısı:
\( s(A \times A) = s(A) \cdot s(A) = n^2 \)
Bu \( n^2 \) elemanın \( n \) tanesi \( (a, a) \) şeklindeki sıralı ikililerdir ve yansıma özelliğine sahip bir bağıntının mutlaka içermesi gereken elemanlardır. Geriye kalan \( n^2 - n \) elemanın bağıntının elemanı olup olmaması bağıntının yansıma özelliğini etkilemez, dolayısıyla \( n \) elemanlı bir küme üzerinde tanımlanabilecek yansıma özelliğine sahip bağıntı sayısı bu \( n^2 - n \) elemanı kullanarak oluşturabileceğimiz alt küme sayısı kadardır, bu da bir kümenin alt küme sayısı formülü gereği \( 2^{n^2 - n} \) olur.
Simetri Özelliği
Bir bağıntının elemanı olan her \( (a, b) \) ikilisi için \( (b, a) \) ikilisi de bağıntının elemanı ise bu bağıntının simetri özelliği vardır, ya da bir diğer ifadeyle bağıntı simetrik bir bağıntıdır.
Her \( a, b \in A \) için \( (a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R \) ise,
\( R \) bağıntısı simetriktir.
\( (a, a) \) şeklindeki ikililer yukarıdaki simetri tanımını sağlarlar.
Bu tanıma göre, \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların simetri özelliği vardır.
\( R_1 = \{ (1, 1) \} \)
\( R_2 = \{ (2, 2), (3, 4), (4, 3) \} \)
\( R_3 = \{ (1, 2), (2, 1), (2, 4), (4, 2) \} \)
\( R_4 = \{ (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 4) \} \)
\( R_5 = A \times A \)
\( R_6 = \emptyset \)
\( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların ise belirtilen sebeplerle simetri özelliği yoktur.
\( R_7 = \{ (1, 2), (2, 2) \} \)
\( (2, 1) \) elemanını içermez.
\( R_8 = \{ (2, 2), (2, 3), (2, 4), (4, 4) \} \)
\( (3, 2) \) ve \( (4, 2) \) elemanlarını içermez.
Aşağıdaki bağıntıların simetri özelliği vardır.
| Bağıntı | Örnek | Açıklama |
|---|---|---|
| Eşittir | \( a = b \) ise \( b = a \) | \( a \) sayısı \( b \) sayısına eşitse \( b \) sayısı \( a \) sayısına eşittir. |
| Paralel | \( d_1 \parallel d_2 \) ise \( d_2 \parallel d_1 \) | \( d_1 \) doğrusu \( d_2 \) doğrusuna paralel ise \( d_2 \) doğrusu \( d_1 \) doğrusuna paraleldir. |
| Benzer | \( \overset{\triangle}{ABC} \sim \overset{\triangle}{KLM} \) ise \( \overset{\triangle}{KLM} \sim \overset{\triangle}{ABC} \) | \( ABC \) üçgeni \( KLM \) üçgeni ile benzer ise \( KLM \) üçgeni \( ABC \) üçgeni ile benzerdir. |
| Eş | \( \overset{\triangle}{ABC} \cong \overset{\triangle}{KLM} \) ise \( \overset{\triangle}{KLM} \cong \overset{\triangle}{ABC} \) | \( ABC \) üçgeni \( KLM \) üçgeni ile eş ise \( KLM \) üçgeni \( ABC \) üçgeni ile eştir. |
Simetrik bir bağıntı tersine eşittir. Bunun karşıtı da doğrudur, yani tersine eşit olan bir bağıntı simetriktir.
\( R \) simetrik bir bağıntı ise,
\( R^{-1} = R \)
İSPATI GÖSTER
\( R \text{ simetriktir} \Leftrightarrow R^{-1} = R \) olduğunu gösterelim.
Önce \( R^{-1} = R \Rightarrow R \text{ simetriktir} \) olduğunu gösterelim.
\( R^{-1} = R \) olduğunu kabul edelim.
\( (x, y) \in R \) olsun.
\( R \) ve \( R^{-1} \) birbirine eşitse \( (x, y) \) ters bağıntının da elemanıdır.
\( (x, y) \in R^{-1} \)
Ters bağıntı tanımına göre, \( (x, y) \) bağıntının tersinin elemanı ise \( (y, x) \) bağıntının elemanıdır.
\( (y, x) \in R \)
Herhangi bir \( (x, y) \) için \( (x, y) \in R \Rightarrow (y, x) \in R \) olduğuna göre, \( R \) simetrik olur.
Şimdi \( R \text{ simetriktir} \Rightarrow R^{-1} = R \) olduğunu gösterelim.
\( (y, x) \in R^{-1} \) olsun.
Ters bağıntı tanımına göre, \( (x, y) \) bağıntının kendisinin elemanı olur.
\( (x, y) \in R \) olsun.
\( R \) simetrik olduğu için \( (y, x) \) de bağıntının elemanı olur.
\( (y, x) \in R \) olsun.
Herhangi bir \( (y, x) \) hem \( R \) hem de \( R^{-1} \) bağıntılarının elemanı olduğuna göre, bağıntı ve tersi birbirine eşit olur.
Simetrik iki bağıntının kesişimi olan bağıntı da simetriktir.
\( R \) ve \( S \) bağıntıları simetrik ise,
\( R \cap S \) bağıntısı da simetriktir.
İSPATI GÖSTER
\( (x, y) \in R \cap S \) olsun.
Kesişim kümesi tanımına göre, \( (x, y) \) ikilisi \( R \cap S \) bağıntısının elemanı ise hem \( R \) bağıntısının hem \( S \) bağıntısının elemanıdır.
\( (x, y) \in R \land (x, y) \in S \)
\( R \) ve \( S \) simetrik bağıntılardır.
\( (y, x) \in R \land (y, x) \in S \)
Kesişim kümesi tanımına göre, \( (y, x) \) ikilisi hem \( R \) bağıntısının hem \( S \) bağıntısının elemanı ise \( R \cap S \) bağıntısının da elemanıdır.
Her \( (x, y) \in R \cap S \) için \( (y, x) \in R \cap S \) olduğuna göre, \( R \cap S \) bağıntısı simetriktir.
Simetrik iki bağıntının birleşimi olan bağıntı da simetriktir.
\( R \) ve \( S \) bağıntıları simetrik ise,
\( R \cup S \) bağıntısı da simetriktir.
İSPATI GÖSTER
\( (x, y) \in R \cup S \) olsun.
Birleşim kümesi tanımına göre, \( (x, y) \) ikilisi \( R \cup S \) bağıntısının elemanı ise \( R \) bağıntısının veya \( S \) bağıntısının elemanıdır.
\( (x, y) \in R \lor (x, y) \in S \)
\( R \) ve \( S \) simetrik bağıntılardır.
\( (y, x) \in R \lor (y, x) \in S \)
Birleşim kümesi tanımına göre, \( (y, x) \) ikilisi \( R \) bağıntısının veya \( S \) bağıntısının elemanı ise \( R \cup S \) bağıntısının elemanıdır.
Her \( (x, y) \in R \cup S \) için \( (y, x) \in R \cup S \) olduğuna göre, \( R \cup S \) bağıntısı simetriktir.
\( n \) elemanlı bir \( A \) kümesi üzerinde tanımlanabilecek simetri özelliğine sahip bağıntı sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
Simetri özelliğine sahip bağıntı sayısı \( = 2^{\frac{n(n + 1)}{2}} \)
5 elemanlı bir küme üzerinde tanımlanabilecek simetri özelliğine sahip bağıntı sayısı:
\( = 2^{\frac{5(5 + 1)}{2}} = 2^{15} \)
İSPATI GÖSTER
\( n \) elemanlı bir kümenin elemanları içinden yapabileceğimiz her farklı 2'li seçim için birbiri ile simetrik \( (a, b) \) ve \( (b, a) \) sıralı ikilileri oluşturabiliriz.
Bu şekilde yapabileceğimiz farklı seçim sayısı kombinasyon formülünü kullanarak \( C(n, 2) \) olur.
\( C(n, 2) = \dfrac{n!}{2!(n - 2)!} = \dfrac{n \cdot (n - 1)}{2} \)Yukarıdaki şekilde yaptığımız her 2'li eleman seçimini simetri özelliğini sağlayacak şekilde bir bağıntıya dahil edip etmeme konusunda 2 farklı seçimimiz vardır: (1) bu iki elemanı bağıntıya \( (a, b) \) ve \( (b, a) \) şeklinde birlikte dahil ederiz; (2) bu iki elemanı bağıntıya ne \( (a, b) \) ne de \( (b, a) \) şeklinde dahil ederiz.
Bu iki seçimi \( C(n, 2) \) farklı eleman ikilisi için yaptığımızda çarpma kuralı gereği \( 2^{C(n, 2)} \) farklı bağıntı elde etmiş oluruz.
Simetrik bir bağıntının \( (a, a) \) şeklindeki sıralı ikilileri içermesi bu bağıntının simetri özelliğini bozmaz. \( n \) elemanlı bir kümenin elemanları ile \( n \) tane \( (a, a) \) sıralı ikilisi oluşturabiliriz, bu elemanlarını kullanarak da \( 2^n \) bağıntı yazılabilir.
Dolayısıyla, ilk bulduğumuz \( 2^{C(n, 2)} \) simetrik bağıntının her birinin sonuna ekleyebileceğimiz ve simetri özelliğini bozmayacak \( 2^n \) farklı bağıntı vardır. Bu iki seçim bağımsız seçimler olduğu ve her iki seçimi de yapacağımız için (VE ilişkisi) iki sayıyı çarparak toplam bağıntı sayısını buluruz.
Simetri özelliğine sahip bağıntı sayısı \( = 2^{C(n, 2)} \cdot 2^n = 2^{\frac{n(n - 1)}{2}} \cdot 2^n = 2^{\frac{n(n + 1)}{2}} \)
Ters Simetri Özelliği
\( (a, b) \) ve \( (b, a) \) ikililerinin bir bağıntının elemanı olması \( a = b \) olmasını gerektiriyorsa bu bağıntının ters simetri özelliği vardır, ya da bir diğer ifadeyle bağıntı ters simetrik bir bağıntıdır.
Her \( a, b \in A \) için \( (a, b) \in R \) ve \( (b, a) \in R \Rightarrow a = b \) ise,
\( R \) bağıntısı ters simetriktir.
Yukarıdaki tanıma göre, bir bağıntıda \( (a, a) \) şeklinde ikililerin bulunması ters simetri özelliğinin bulunmasını ya da bulunmamasını etkilemez.
Bu tanıma göre, \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların ters simetri özelliği vardır.
\( R_1 = \{ (1, 2), (2, 4) \} \)
\( R_2 = \{ (1, 2), (2, 4), (3, 3) \} \)
\( R_3 = \emptyset \)
\( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların ise belirtilen sebeplerle ters simetri özelliği yoktur.
\( R_4 = \{ (1, 2), (2, 1), (1, 3) \} \)
\( (1, 2) \) ve \( (2, 1) \) elemanlarını birlikte içerir.
\( R_5 = A \times A \)
\( a \ne b \) olmak üzere, \( (a, b) \) ve \( (b, a) \) ikililerini birlikte içerir.
Simetri ve ters simetri özellikleri birbirinin tersi değildir. Buna göre, aşağıdaki iki örnekte görülebileceği gibi bir bağıntı hem simetri ve hem de ters simetri özelliklerine sahip olabilir.
\( R_1 = \{ (1, 1), (2, 2), (3, 3) \} \)
\( R_2 = \emptyset \)
Benzer şekilde, aşağıdaki iki örnekte görülebileceği gibi bir bağıntı simetri ve ters simetri özelliklerinin ikisine de sahip olmayabilir.
\( R_1 = \{ (1, 2), (2, 3), (3, 2) \} \)
\( (2, 1) \) elemanını içermediği için simetrik değil, \( (2, 3) \) ve \( (3, 2) \) elemanlarını içerdiği için ters simetrik değil.
\( n \) elemanlı bir \( A \) kümesi üzerinde tanımlanabilecek ters simetri özelliğine sahip bağıntı sayısı aşağıdaki formülle hesaplanır.
Ters simetri özelliğine sahip bağıntı sayısı \( = 3^{\frac{n(n - 1)}{2}} \cdot 2^n \)
5 elemanlı bir küme üzerinde tanımlanabilecek ters simetri özelliğine sahip bağıntı sayısı:
\( = 3^{\frac{5(5 - 1)}{2}} \cdot 2^5 = 3^{10} \cdot 2^5 \)
İSPATI GÖSTER
Simetri özelliğinde yaptığımıza benzer şekilde \( n \) elemanlı bir kümenin elemanları içinden farklı \( C(n, 2) \) tane 2'li eleman seçebiliriz.
\( C(n, 2) = \dfrac{n!}{2!(n - 2)!} = \dfrac{n \cdot (n - 1)}{2} \)Yukarıdaki şekilde yaptığımız her 2'li eleman seçimini ters simetri özelliğini sağlayacak şekilde bir bağıntıya dahil edip etmeme konusunda 3 farklı seçimimiz vardır: (1) bu iki elemanı bağıntıya sadece \( (a, b) \) şeklinde dahil ederiz; (2) bu iki elemanı bağıntıya sadece \( (b, a) \) şeklinde dahil ederiz; (3) bu iki elemanı bağıntıya ne \( (a, b) \) ne de \( (b, a) \) şeklinde dahil ederiz. Hatırlatma olarak, dördüncü bir seçenek olarak bu iki elemanı hem \( (a, b) \) hem de \( (b, a) \) şeklinde bağıntıya dahil edersek bağıntının ters simetri özelliği bozulmuş olur.
Bu üç seçimi \( C(n, 2) \) farklı eleman ikilisi için yaptığımızda çarpma kuralı gereği \( 3^{C(n, 2)} \) farklı bağıntı elde etmiş oluruz.
Simetrik bir bağıntının \( (a, a) \) şeklindeki sıralı ikilileri içermesi bu bağıntının ters simetri özelliğini bozmaz. \( n \) elemanlı bir kümenin elemanları ile \( n \) tane \( (a, a) \) sıralı ikilisi oluşturabiliriz, bu elemanlarını kullanarak da \( 2^n \) bağıntı yazılabilir.
Dolayısıyla, ilk bulduğumuz \( 3^{C(n, 2)} \) ters simetrik bağıntının her birinin sonuna ekleyebileceğimiz ve ters simetri özelliğini bozmayacak \( 2^n \) farklı bağıntı vardır. Bu iki seçim bağımsız seçimler olduğu ve her iki seçimi de yapacağımız için (VE ilişkisi) iki sayıyı çarparak toplam bağıntı sayısını buluruz.
Ters simetri özelliğine sahip bağıntı sayısı \( = 3^{C(n, 2)} \cdot 2^n = 3^{\frac{n \cdot (n - 1)}{2}} \cdot 2^n \)
Geçişme Özelliği
Bir bağıntının elemanı olan her \( (a, b) \) ve \( (b, c) \) ikilileri için, \( (a, c) \) ikilisi de bağıntının elemanı ise bu bağıntının geçişme özelliği vardır, ya da bir diğer ifadeyle bağıntı geçişken bir bağıntıdır.
Her \( a, b, c \in A \) için \( (a, b) \in R \) ve \( (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R \) ise,
\( R \) bağıntısı geçişkendir.
Bir bağıntıda \( (a, b) \) ve \( (b, c) \) elemanları birlikte bulunmadan \( (a, b) \) elemanının tek başına bulunması bağıntının geçişken olmasına engel değildir.
Bir bağıntıda \( (a, b) \) ve \( (b, b) \) elemanları ya da \( (a, a) \) ve \( (a, b) \) elemanları birlikte bulunuyorsa bu elemanlar için geçişkenlik koşulu sağlanır.
Buna tanıma göre, \( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların geçişme özelliği vardır.
\( R_1 = \{ (1, 2), (2, 4), (1, 4) \} \)
\( R_2 = \{ (1, 2), (2, 2) \} \)
\( R_3 = \{ (2, 2), (2, 3), (3, 3) \} \)
\( R_4 = \{ (1, 2), (2, 4), (1, 4) \} \)
\( R_5 = A \times A \)
\( R_6 = \emptyset \)
\( A \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntıların ise belirtilen sebeplerle geçişme özelliği yoktur.
\( R_7 = \{ (1, 2), (2, 4), (4, 4) \} \)
\( (1, 4) \) elemanını içermez.
Geçişken iki bağıntının kesişimi olan bağıntı da geçişkendir.
\( R \) ve \( S \) bağıntıları geçişken ise,
\( R \cap S \) bağıntısı da geçişkendir.
Geçişken iki bağıntının birleşimi olan bağıntı geçişken olabilir ya da olmayabilir.
Yukarıda bahsettiğimiz 4 özelliği karşılaştırdığımızda; yansıma özelliğinin diğer 3 özellikten bir farkı, özelliğin üzerinde tanımlı olduğu kümenin her elemanı için sağlanması gerekliliğidir, dolayısıyla diğer üç özellik boş bağıntıda da sağlanırken yansıma özelliğine sahip olan bir bağıntının eleman sayısı en az bu kümenin eleman sayısı kadar olmalıdır. Diğer üç özellik koşullu önerme şeklinde tanımlı olduğu için bağıntının elemanı olan ikililer için sağlanması yeterlidir.
\( A = \{a, b, c\} \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılar veriliyor.
\( R_1 = \{(a, a), (a, c), (b, b), (c, a), (c, c)\} \)
\( R_2 = \{(a, a), (a, b), (b, b), (b, c)\} \)
Buna göre aşağıdaki öncüllerden hangileri doğrudur?
I. \( R_1 \) ve \( R_2 \) yansıyandır.
II. \( R_2 \) ters simetriktir.
III. \( R_1 \) geçişkendir.
Çözümü GösterI. öncül:
\( (a, a), (b, b), (c, c) \in R_1 \) olduğu için \( R_1 \) yansıyandır.
\( (c, c) \notin R_2 \) olduğu için \( R_2 \) yansıyan değildir.
I. öncül yanlıştır.
II. öncül:
\( (a, b), (b, c) \in R_2 \) iken \( (b, a), (c, b) \notin R_2 \) olduğu için \( R_2 \) ters simetriktir.
II. öncül doğrudur.
III. öncül:
\( (a, c), (c, a) \in R_1 \) iken \( (a, a), (c, c) \in R_1 \) olduğu için \( R_1 \) geçişkendir.
III. öncül doğrudur.
Buna göre II. ve III öncüller doğrudur.
\( A = \{a, b, c, d\} \) üzerinde tanımlı,
\( R = \{(a, a), (a, b), (a, c), (a, d), \) \( (b, b), (b, c), \) \( (b, d), (c, c), \) \( (c, d), (d, d)\} \)
bağıntısının yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahip olup olmadığını inceleyin.
Çözümü Göster\( (a, a), (b, b), (c, c), (d, d) \in R \) olduğu için \( R \) yansıyandır.
\( (a, b) \in R \) iken \( (b, a) \notin R \) olduğu için \( R \) simetrik değildir.
\( (a, b), (a, c), (a, d), (b, c), \) \( (b, d), (c, d) \in R \) iken \( (b, a), (c, a), (d, a), (c, b), \) \( (d, b), (d, c) \notin R \) olduğu için \( R \) ters simetrikdir.
Aşağıdaki koşullar sağlandığı için \( R \) geçişkendir.
\( (a, b), (b, c) \in R \) iken \( (a, c) \in R \)
\( (a, c), (c, d) \in R \) iken \( (a, d) \in R \)
\( (b, c), (c, d) \in R \) iken \( (b, d) \in R \)
Buna göre \( R \) bağıntısı yansıyan, ters simetrik ve geçişkendir, ancak simetrik değildir.
\( A = \{a, b, c\} \) üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangileri ters simetriktir?
\( R_1 = \{(a, b), (b, c), (c, a)\} \)
\( R_2 = \{(a, c), (a, b), (c, c), (b, a)\} \)
\( R_3 = \{(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (b, c)\} \)
Çözümü Göster\( (a, b) \) ve \( (b, a) \) ikililerinin bir bağıntının elemanı olması \( a = b \) olmasını gerektiriyorsa bu bağıntı ters simetriktir.
Bir bağıntıda \( (a, a) \) şeklinde ikililerin bulunması ters simetri özelliğinin bulunmasını ya da bulunmamasını etkilemez.
\( R_1 \) ve \( R_3 \) bu tanımı sağladığı için ters simetriktir.
\( (a, b), (b, a) \in R_2 \) olduğu için \( R_2 \) ters simetrik değildir.
Buna göre \( R_1 \) ve \( R_3 \) bağıntıları ters simetriktir.
\( A = \{a, b, c, d\} \) üzerinde tanımlı,
\( R = \{(a, a), (a, c), (a, d), (c, b)\} \) bağıntısının geçişken olması için bağıntıya eklenmesi gereken asgari ikili(ler) hangileridir?
Çözümü GösterBir bağıntının elemanı olan her \( (a, b) \) ve \( (b, c) \) ikilileri için, \( (a, c) \) ikilisi de bağıntının elemanı ise bu bağıntı geçişkendir.
Bağıntıda \( (a, c) \) ve \( (c, b) \) elemanları bulunduğu için geçişkenlik özelliği için bağıntıya \( (a, b) \) elemanı eklenmelidir.
\( A = \{a, b, c\} \) üzerinde tanımlı bağıntılardan kaçının simetri özelliği yoktur?
Çözümü Göster\( s(A) = 3 = n \)
\( n \) elemanlı bir küme üzerinde tanımlanabilecek simetri özelliğine sahip bağıntı sayısı aşağıdaki formülle bulunur.
\( 2^{\frac{n(n + 1)}{2}} = 2^{\frac{3(3 + 1)}{2}} = 2^6 = 64 \)
\( n \) elemanlı bir küme üzerinde tanımlanabilecek toplam bağıntı sayısı aşağıdaki formülle bulunur.
\( 2^{n \cdot n} = 2^{3 \cdot 3} = 2^9 = 512 \)
Simetrik olmayan bağıntı sayısı = Toplam bağıntı sayısı - Simetrik bağıntı sayısı
\( = 512 - 64 = 448 \) bulunur.
\( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) üzerinde tanımlı,
\( R = \{(a, b) \mid a + b = 6; a, b \in A \} \)
bağıntısının simetri özelliği olup olmadığını gösterin.
Çözümü Göster\( a + b = 6 \) eşitliğini sağlayan ikililerden oluşan \( R \) bağıntısı aşağıdaki gibi olur.
\( R = \{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\} \)
Bir bağıntının elemanı olan her \( (a, b) \) ikilisi için \( (b, a) \) ikilisi de bağıntının elemanı ise bu bağıntı simetriktir.
\( (1, 5), (2, 4) \in R \) iken \( (5, 1), (4, 2) \in R \) olduğu için (bir diğer ifadeyle, \( a + b = b + a = 6 \) olduğu için) bağıntı simetriktir.
\( R = \{(a, b) : \abs{a} = \abs{b}; a, b \in \mathbb{R}\} \)
bağıntısının yansıma özelliği olup olmadığını gösterin.
Çözümü Göster\( R \) bağıntısı mutlak değerleri birbirine eşit olan sayıları eşler, bu sayılar ya birbirine eşittir ya da birbirinin ters işaretlisidir.
\( R = \{(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1), \ldots\} \)
Her reel sayı için \( \abs{a} = \abs{a} \) olduğu için \( (a, a) \in R \) olur, dolayısıyla \( R \) bağıntısı yansıyandır.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \) üzerinde tanımlı,
\( R = \{ (x, y) : 2 \mid (x - y); x, y \in A \} \)
bağıntısının yansıma özelliği olup olmadığını gösterin.
Çözümü Göster\( 2 \mid (x - y) \) ifadesi 2 sayısının \( x - y \) sayısını tam böldüğünü söyler.
2 sayısı, sıfır dahil 2'nin tüm pozitif ve negatif tam sayı katlarını böler.
Buna göre \( R \) bağıntısı \( x - y \) farkının pozitif ya da negatif çift sayı olduğu tüm ikililerden oluşur.
\( R = \{(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (4, 2), (4, 4)\} \)
\( A \) kümesindeki her \( a \) elemanı için \( (a, a) \) ikilisi bağıntının elemanı ise bu bağıntı yansıyandır.
\( (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) \in R \) olduğu için bağıntı yansıyandır.
Reel sayılarda tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangilerinin simetri özelliği vardır?
(a) \( R_1 = \{(a, b) \mid 7a + 7b = 98\} \)
(b) \( R_2 = \{(a, b) \mid 3a - 4b = 12\} \)
(c) \( R_3 = \{(a, b) \mid a^2 + b^2 = 121\} \)
(d) \( R_4 = \{(a, b) \mid \abs{a} + \abs{b} = 13\} \)
Çözümü GösterBir bağıntının elemanı olan her \( (a, b) \) ikilisi için \( (b, a) \) ikilisi de bağıntının elemanı ise bu bağıntı simetriktir.
(a) seçeneği:
\( R_1 = \{(a, b) \mid 7a + 7b = 98\} \)
\( 7a + 7b = 7b + 7a \) olduğu için eşitliği sağlayan her \( (a, b) \) ikilisi için \( (b, a) \) ikilisi de eşitliği sağlar.
\( R_1 \) bağıntısı simetriktir.
(b) seçeneği:
\( R_2 = \{(a, b) \mid 3a - 4b = 12 \} \)
\( a \) ve \( b \)'nin katsayıları farklı olduğu için \( 3a - 4b = 12 \) eşitliğini sağlayan her \( (a, b) \) ikilisi için \( (b, a) \) ikilisi eşitliği sağlamaz. Örneğin \( (8, 3) \) eşitliği sağlar, ama \( (3, 8) \) sağlamaz.
\( R_2 \) bağıntısı simetrik değildir.
(c) seçeneği:
\( R_3 = \{(a, b) \mid a^2 + b^2 = 121\} \)
\( a^2 + b^2 = b^2 + a^2 \) olduğu için eşitliği sağlayan her \( (a, b) \) ikilisi için \( (b, a) \) ikilisi de eşitliği sağlar.
\( R_3 \) bağıntısı simetriktir.
(d) seçeneği:
\( R_4 = \{(a, b) \mid \abs{a} + \abs{b} = 13\} \)
\( \abs{a} + \abs{b} = \abs{b} + \abs{a} \) olduğu için eşitliği sağlayan her \( (a, b) \) ikilisi için \( (b, a) \) ikilisi de eşitliği sağlar.
\( R_4 \) bağıntısı simetriktir.
Buna göre \( R_1 \), \( R_3 \) ve \( R_4 \) bağıntıları simetriktir.
\( R = \{(x, y) \mid 2x + 3y = 5\} \) reel sayılarda tanımlı bir bağıntıdır.
\( R \) bağıntısının ters simetrik olup olmadığını gösterin.
Çözümü Göster\( (a, b) \) ve \( (b, a) \) ikililerinin bir bağıntının elemanı olması \( a = b \) olmasını gerektiriyorsa bu bağıntı ters simetriktir.
Verilen denklemi aynı anda sağlayan \( (a, b) \) ve \( (b, a) \) ikilileri olup olmadığını bulalım.
Bu bağıntının elemanı olan bir \( (a, b) \) ikilisini denklemde yerine koyalım.
\( 2a + 3b = 5 \)
\( b \)'yi yalnız bırakalım.
\( b = \dfrac{5 - 2a}{3} \)
Şimdi de bu ikilinin simetriği olan \( (b, a) \) ikilisini denklemde yerine koyalım.
\( 2b + 3a = 5 \)
\( b \)'yi yalnız bırakalım.
\( b = \dfrac{5 - 3a}{2} \)
İki denklemi de sağlayan \( a \) ve \( b \) değerlerini bulmak için denklemleri ortak çözelim.
\( \dfrac{5 - 2a}{3} = \dfrac{5 - 3a}{2} \)
\( 10 - 4a = 15 - 9a \)
\( a = 1 \)
\( a = 1 \) için \( b \) değerini bulalım.
\( 2(1) + 3y = 5 \Longrightarrow b = 1 \)
Buna göre hem \( (a, b) \) hem de \( (b, a) \) ikilisinin eşitliği sağladığı tek durum \( (1, 1) \) ikilisidir.
Bir bağıntıda \( (a, a) \) cinsinden sıralı ikililerin bulunması ters simetri özelliğinin bulunmasını ya da bulunmamasını etkilemez.
Buna göre \( R \) bağıntısı ters simetriktir.
\( A = \{1, 2, 3, 4\} \) üzerinde tanımlı 6 elemanlı bağıntılardan kaç tanesi yansıyandır?
Çözümü GösterHer \( a \in A \) için \( (a, a) \) ikilileri aşağıdaki gibidir.
\( \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)\} \)
\( s(A \times A) = s(A) \cdot s(A) \)
\( = 4 \cdot 4 = 16 \)
\( A \) üzerinde toplamda \( 2^{16} \) bağıntı tanımlanabilir, bu bağıntılardan \( C(16, 6) \) tanesi 6 elemanlıdır.
Bir bağıntının yansıyan olabilmesi için yukarıdaki \( (a, a) \) şeklindeki 4 elemanı içermelidir.
O halde kalan \( 16 - 4 = 12 \) eleman içinden \( 6 - 4 = 2 \) eleman daha seçilmelidir.
12 eleman içinden 2 elemanın farklı seçim sayısını bulalım.
\( C(12, 2) = \dfrac{12!}{10! \cdot 2!} = 66 \)
Buna göre \( A \) üzerinde tanımlanabilecek 6 elemanlı \( C(16, 6) \) bağıntıdan 66'sı yansıyandır.
\( R = \{(x, y) \mid y = 3mx - 6\} \) reel sayılarda tanımlı bir bağıntıdır.
\( R \) bağıntısının simetrik olabilmesi için \( m \) kaç olmalıdır?
Çözümü GösterBir bağıntının elemanı olan her \( (a, b) \) ikilisi için \( (b, a) \) ikilisi de bağıntının elemanı ise bu bağıntı simetriktir.
Buna göre bir \( (a, b) \) ikilisi verilen denklemi sağlıyorsa \( (b, a) \) ikilisi de sağlamalıdır.
\( y = 3mx - 6 \) ve \( x = 3my - 6 \)
Her iki eşitliğin aynı anda sağlandığı durumları bulmak için iki eşitliği ortak çözelim.
\( x = 3m(3mx - 6) - 6 \)
\( x = 9m^2x - 18m - 6 \)
\( x - 9m^2x = -18m - 6 \)
\( (1 - 9m^2)x + 18m + 6 = 0 \)
Bu eşitliğin her \( x \) için sağlanması için aşağıdaki iki ifade de sıfır olmalıdır.
\( 1 - 9m^2 = 0 \) ve \( -18m - 6 = 0 \)
\( 1 - 9m^2 = 0 \Longrightarrow m = \pm \dfrac{1}{3} \)
\( 18m + 6 = 0 \Longrightarrow m = -\dfrac{1}{3}\)
Buna göre verilen bağıntının simetrik olabilmesi için \( m = -\frac{1}{3} \) olmalıdır.
\( R = \{(x, y) \mid y = -x - 6\} \)
Bu sonucu aşağıdaki şekilde de yorumlayabiliriz.
Bu eşitliği sağlayan her \( (x, y) \) ikilisi için \( (y, x) \) ikilisinin de eşitliği sağlaması için, \( x \) ve \( y \) katsayıları birbirine eşit olmalıdır.
\( y = -x - 6 \)
\( x + y = -6 \)
\( A = \{2, 4, 6, 8\} \) kümesinde tanımlanabilecek bağıntılardan kaç tanesi hem yansıyan hem de simetriktir?
Çözümü Göster\( s(A) = 4 \)
\( s(A \times A ) = 16 \)
Kartezyen çarpım kümesindeki ikililerden 4'ü \( (a, a) \) formundadır ve bir bağıntının yansıyan olabilmesi için bağıntı bu 4 ikiliyi de içermelidir.
Ek olarak, bir bağıntının elemanı olan her \( (a, b) \) ikilisi için \( (b, a) \) ikilisi de bağıntının elemanı ise bu bağıntı simetriktir.
4 elemanlı \( A \) kümesinin elemanları içinden 2 eleman \( C(4, 2) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.
\( \{2, 4\}, \{2, 6\}, \{2, 8\}, \{4, 6\}, \{4, 8\}, \{6, 8\} \)
Bu 6 seçimin her biri için \( \{(a, b), (b, a)\} \) ikilileri birlikte bağıntıya dahil edilirse bağıntı simetrik olur.
İkişer elemanlı bu 6 kümeden oluşan kümenin \( 2^6 = 64 \) alt kümesi vardır ve her bir alt küme için bir simetrik bağıntı tanımlanabilir.
Bu 64 bağıntının her birine \( (a, a) \) formundaki 4 ikili de eklendiğinde hem yansıyan hem simetrik 64 bağıntı elde edilmiş olur.