Dik İzdüşüm
Bu bölümde düzlemdeki bir noktanın veya bir doğrunun başka bir doğru üzerindeki dik izdüşümünü tanımlayacağız. Bir noktanın veya geometrik şeklin üzerinde dik izdüşümünün alındığı doğruya izdüşüm doğrusu denir.
Bir Noktanın Bir Doğru Üzerindeki Dik İzdüşümü
Bir \( A \) noktasının bir izdüşüm doğrusu üzerindeki dik izdüşümü, \( A \) noktasından doğruya indirilen dikmenin doğruyu kestiği noktadır. Bu nokta aynı zamanda o doğru üzerinde \( A \) noktasına en yakın olan noktadır.
Aşağıdaki grafikte \( A \) noktasının \( x \) ekseni, \( y \) ekseni ve \( d \) doğrusu üzerindeki dik izdüşümleri sırasıyla \( A_1, A_2, A_3 \) noktalarıdır.
Bu örneklerde görülebileceği üzere, bir noktanın \( x \) ekseni üzerindeki dik izdüşümü alınırken noktanın apsisi değişmez, ordinatı sıfır olur. Benzer şekilde, \( y \) ekseni üzerindeki dik izdüşümü alınırken noktanın ordinatı değişmez, apsisi sıfır olur.
İzdüşüm doğrusu üzerindeki bir noktanın dik izdüşümü kendisidir.
Bir Doğru Parçasının Bir Doğru Üzerindeki Dik İzdüşümü
Bir \( [AB] \) doğru parçasının bir izdüşüm doğrusu üzerindeki dik izdüşümü, \( [AB] \) üzerindeki tüm noktaların izdüşüm doğrusu üzerindeki dik izdüşümlerinin oluşturduğu noktalar kümesidir. \( [AB] \) doğru parçası izdüşüm doğrusuna dik ise dik izdüşümü bir nokta, aksi takdirde bir doğru parçası olur.
Aşağıdaki grafikte \( [AB] \) doğru parçasının \( x \) ekseni, \( y \) ekseni ve \( d \) doğrusu üzerindeki dik izdüşümleri sırasıyla \( [A_1B_1], [A_2B_2], [A_3B_3] \) doğru parçalarıdır.
Bir doğru parçasının dik izdüşümü, uç noktalarının dik izdüşümleri birleştirilerek de elde edilebilir.
Bir doğru parçasının \( x \) ekseni üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu, uç noktalarının \( x \) koordinatları arasındaki farkın mutlak değerine eşittir. Benzer şekilde, \( y \) ekseni üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu uç noktalarının \( y \) koordinatları arasındaki farkın mutlak değerine eşittir.
\( \abs{A_1B_1} = \abs{x_2 - x_1} \)
\( \abs{A_2B_2} = \abs{y_2 - y_1} \)
\( x \) eksenini kesen bir \( [AB] \) doğru parçasının eksenler üzerindeki dik izdüşümleri aşağıdaki gibi oluşur.
Koordinat düzleminde \( A(3, 6) \) ve \( B(7, 4) \) noktaları veriliyor.
Buna göre \( [AB] \) doğru parçasının \( x \) ve \( y \) eksenleri üzerindeki dik izdüşümlerinin uzunlukları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
\( [AB] \) doğru parçasının \( x \) ekseni üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu, \( A \) ve \( B \) noktalarının \( x \) koordinatlarının farkının mutlak değerine eşittir.
\( \abs{x_2 - x_1} = \abs{7 - 3} = 4 \)
\( [AB] \) doğru parçasının \( y \) ekseni üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu, \( A \) ve \( B \) noktalarının \( y \) koordinatlarının farkının mutlak değerine eşittir.
\( \abs{y_2 - y_1} = \abs{6 - 4} = 2 \)
Dik izdüşümlerin uzunluklarının toplamı \( 4 + 2 = 6 \) olarak bulunur.